Mamy przypadek dzierżawy kopalni złota na okres 10 lat. Roczne wydobycie wynosi 10 tys. uncji złota, przy jednostkowym koszcie wydobycia 200 USD/uncję. Przyjmujemy, że roczny koszt obsługi kapitału wynosi k=10%, zaś cena rynkowej złota jest stała i równa 400 USD/uncję. Jaka jest wartość dzierżawy?

Roczne wpływy pieniężne netto wyniosą 10 000 x (400 - 200 ) = 2 mln USD. Wartość obecna przepływów pieniężnych opiewa więc na kwotę:
 P = suma (dla n=1-10) 2 mln / (1 + 10%) = 12,289 mln USD
i jest to zarazem wartość dzierżawy kopalni złota.

Zmodyfikujmy treść zadania. Roczny koszt wydobycia złota nie zmienia się, lecz w ciągu roku cena rynkowa złota wzrasta do 500 USD/uncję. Przyszła cena rynkowa jest jednak niepewna, a oszacowanym stopniem niepewności jest o = 40%. Przyjmujemy, że stopa zwrotu wolna od ryzyka równa się 10%, a zatem jest taka sama jak koszt obsługi kapitału. Na rynku kapitałowym oczekiwana stopa zwrotu powinna wynieść 17%, przy czym sigma M = 20% (sigma M to pierwiastek kwadratowy z wariancji stopy zwrotu). Czy inwestycję w kopalnię złota nadal można uznać za opłacalną?

Odwołujemy się do definicji linii rynku kapitałowego (jest to stopa zwrotu z inwestycji obliczona z uwzględnieniem ryzyka rynkowego) i otrzymujemy:
E (stopa zwrotu kopalni) = 0,10 + (0,17 - 0,10) x 0,40 / 0,20 = 0,24 = 24%

Stwierdzamy, że dla przedsięwzięć o ryzyku 40% rynek kapitałowy oferuje stopę zwrotu równą 24%, lecz dodajmy - jest to wielkość oczekiwana przez rynek

Rzeczywistą stopę zwrotu obliczamy następująco:
Stopa zwrotu kopalni = (500 - 400) / 400 = 0,25 = 25%

Wynik rzeczywisty jest większy od oczekiwanego na rynku, a zatem inwestycja jest opłacalna.

Wiemy, że coroczne przychody pieniężne wyniosą po 2 mln USD. Przy stopie procentowej wolnej od ryzyka, i = Rf = 10%, wartość obecna przepływów wynosi 12,289 mln USD. Przyjmijmy, że przez 10 lat rynkowa stopa zwrotu utrzyma się na poziomie 12% (Rm), a ryzyko zainwestowania kapitału w kopalnię złota (beta) będzie mniejsze od rynkowego i wyniesie 0,8. Jak teraz kształtuje się wartość dzierżawy kopalni?

Wartość dzierżawy kopalni jest teraz równa:
P = suma (dla n=1-10) przychody roczne / [1 + Rf + beta x (Rm - Rf)] = suma (dla n=1-10) 2 / [1 + 0,10 + 0,8 x (0,12 - 0,10)] = 12,205 mln USD

W świetle dodatkowych informacji wartość dzierżawy kopalni jest mniejsza i wynosi 12,205 mln USD.

Załóżmy teraz, że kopalnia była eksploatowana bardzo intensywnie i złoże jest już dość ubogie. Ponieważ natrafienie na nową żyłę złota jest coraz trudniejsze, przyjmujemy, że koszt wydobycia w ciągu roku (Kn) zależy od zasobności złoża, reprezentowanej przez zmienną z. Postulat ten spełnia funkcja kosztu wydobycia o następującej postaci:

Kn = 500 USD/uncja x xn (wydobycie złota na koniec roku) do potęgi 2 / zn (zasobność złoża na koniec roku)

Koszt wydobycia mierzymy zatem w USD oraz zakładamy, że w chwili 0 (zero) stanem zasobu jest z0 = 50 000 uncji złota. Wielkość xn jest zmienną decyzyjną, definiującą wydobycie złota na koniec roku n.

Obliczanie bieżącej wartości dzierżawy kopalni rozpoczynamy od roku dziesiątego czyli n = 9 (liczymy od zera, stąd rok numer 9 to tak naprawdę rok dziesiąty). Przyjmujemy, że w złożu pozostało do wydobycia z9 uncji złota. Jeśli uda się pozyskać x9 = z9 uncji złota, to przychód pieniężny wyniesie:
 
R9 = cena x x9 = 400 x z9

Wartość bieżąca kopalni wyniesie maksymalnie:

V9 (dla z9) = maximum (R9 - K9) = maximum (cena x x9 - 500 x x9 do potęgi 2 / z9)

Maksimum powyższego wyrażenia znajdujemy po wyznaczeniu pochodnej względem x9 i przyrównaniu jej do zera. Wynik jest następujący:
X9 = c x z9 x 1/1000

Rezultat ten podstawiamy do wyrażenia na V9 i otrzymujemy:
V9 (dla z9) = (c x c x z9 / 1000) - [500 x c do potęgi 2 x z9 do potęgi 2 / (1000 x 1000 x z9)] = c do potęgi 2 x z9 / 2000

Przyjmujemy wobec tego, że:

V9 (dla z9) = c do potęgi 2 x z9 / 2000 = d9 x z9
gdzie: c - cena rynkowa złota wyrażona w USD/uncję; 1/2000 - trudna do zinterpretowania cena wtórna wyrażona w USD/uncję; z9 - stan zasobu złoża pomierzony w uncjach złota; d9 - jeszcze trudniejsza do zinterpretowania cena przypisana chwili n = 9.

Wyrażenie powyższe na V9 jest równaniem wartości, w którym cenę mnoży się przez ilość. To z kolei oznacza, że ceny d9 nie można utożsamiać z czynnikiem, a tym bardziej nie należy nazywać stałą proporcjonalności.

W następnym kroku rozpatrujemy chwilę n = 8 i poszukujemy rozwiązania dla V8(z8). W tym celu uwzględniamy zrealizowany zysk w chwili n = 9, który trzeba uzupełnić wartością dzierżawy w chwili n = 8. Wartość ta zależy od ilości złota pozostawionej w złożu w chwili n = 9. Jeśli tak, to:
V8 (dla z8) = maximum [c x x8 - 500 x x8 do potęgi 2 / z8 - V9 (dla z8 - x8) x liczba e do potęgi (-r x 1)], gdzie r = ln (1 + 0,10) = 0,0953 jest nominalną stopą w ujęciu rocznym.

Zauważmy, że przyjęte w powyższym wyrażeniu rozstrzygnięcie jest wielce kontrowersyjne. Zamiast z9-x9 uwzględniono różnicę z8-x8, a wobec tego nie bardzo wiadomo, dlaczego wartość pieniężna d9x(z8-x8) powinna być poddana dyskontowaniu na chwilę n = 8. Domyślamy się, że chodzi o obliczenie pochodnej względem zmiennej x8, a następnie jej przyrównanie do zera. Otrzymujemy bowiem następujące rozwiązanie:
z8 = z8 x (c - d9 x liczba e do potęgi (-r x 1)) x 1/1000

Ze zdziwieniem stwierdzamy, że dyskontowaniu podlega stała cena d9, a nie wartość pieniężna z chwili n = 9. Jeśli tak, to wiarygodność wyceny kopalni jest mocno naciągana.

Otrzymujemy ostatecznie wzór na wartość kopalni w kolejnym dowolnym roku:

Vn (dla zn) = dn x zn, gdzie dn = d(n+1) x liczba e do potęgi (-r x 1) x (c - d(n+1) x liczba e do potęgi (-r x 1)) / 2000
gdzie: Vn (dla zn) - wartość pieniężna zasobu złota; zn - zasób złota w złożu w chwili n; c - cena rynkowa złota; dn - trudna do zinterpretowania cena złota w chwili n; r - nominalna stopa procentowa; n = 7, 6, ..., 0.

Wiadomo, że:
c = 400 USD/uncję,   r = 0,0953,    liczba e do potęgi (-r x 1) = 0,909.

Na podstawie wzoru na Vn można więc obliczyć bieżące "ceny", a te są następujące:
Rok 10 (n=9) = 80,00
Rok 9 (n=8) = 126,28
Rok 8 (n=7) = 155,46
Rok 7 (n=6) = 174,77
Rok 6 (n=5) = 187,94
Rok 5 (n=4) = 197,10
Rok 4 (n=3) = 203,54
Rok 3 (n=2) = 208,13
Rok 2 (n=1) = 211,41
Rok 1 (n=0) = 213,77

W chwili n=0 w złożu było z0 = 50 000 uncji złota. Jeśli tak, to wartość dzierżawy kopalni złota wynosi V0 (dla z0 = 50 000) = d0 x z0 = 213,77 x 50 000 = 10 688 500 USD. Wartość jest zatem o 1,6 min USD mniejsza niż to wcześniej zostało oszacowane.

Za pomocą tego przykładu widać jak kontrowersyjna może być procedura postępowania prowadząca do wyceny projektu dzierżawy kopalni złota. Jak wobec tego należy postąpić, gdy odstępy między chwilami są względnie krótkie? Okazuje się, że w tym wypadku zaproponowano kolejne uogólnienie siatki decyzyjnej, które zazwyczaj nazywa się procesem decyzyjnym.

Więcej wskazówek, obliczeń, przykładów i zasad przeprowadzania oceny finansowej sensowności projektów gospodarczych i inwestycyjnych znajdziesz w książce Jerzego Jakubczyca "Metody oceny projektu gospodarczego" (Wydawnictwo Naukowe PWN, 2008). Książkę znajdziesz w księgarni www.ksiegarnia.pwn.pl, wpisując w pole wyszukiwarki tytuł.

Mariusz Ludwiński dla Wydawnictwa Naukowego PWN